Box-Cox transformation with Mathematica

Box-Cox transformation是一種數據轉換技術，旨在使資料更符合常態分佈或類似常態分佈的假設。它是由統計學家George Box和David Cox在1964年提出的。 Box-Cox轉換涉及到一個指數λ，通過將數據點x進行以下轉換： 

y(λ)=(x^λ-1)/λ, 若λ≠0

y(λ)=Log(x), 若λ=0

Box-Cox轉換可以使資料更加符合常態分佈或類似常態分佈的假設，從而提高模型的預測能力和準確性。在實際應用中，通常需要對資料進行多次Box-Cox轉換，並選擇轉換後使資料分佈最接近正態分佈的λ值。當λ > 1時，它可以將正偏的資料變得更加對稱，而當λ < 1時，它可以將負偏的資料變得更加對稱。當λ = 0時，Box-Cox轉換即為對數轉換。 

需要注意的是，Box-Cox轉換只適用於正數資料。如果數據中包含負數，則可以使用相關的技術，如Yeo-Johnson轉換。另外，Box-Cox轉換不適用於包含零值的資料。在這種情況下，可以使用對數加一（log(x+1)）轉換。

data=Flatten[{#,Exp[#+RandomReal[NormalDistribution[0,1],1]]}]&/@Range[1,8,0.025];

(*畫出資料的散佈圖*)
ListPlot@data

(*計算各Lambda之R-Square*)
mymodel[n_]:=Block[{nlm,ntemp=n,datatemp},
datatemp={First@#,
If[ntemp==0,Log[Last@#],((Last@#)^ntemp-1)/ntemp]}&/@data;
nlm=LinearModelFit[datatemp,x,x];
nlm["RSquared"]
]

(*可發現當Lambda=0時，R-Square最大，所以最適轉換為取Ln*)
{#,mymodel[#]}&/@Range[-3,3,0.25]//TableForm
ListPlot[{#,mymodel[#]}&/@Range[-3,3,0.25]]

(*計算模式*)
myfun[x_]=Limit[(x^\[Lambda]-1)/\[Lambda],
\[Lambda]->SortBy[{#,mymodel[#]}&/@Range[-3,3,0.25],Last][[-1,1]]]

lm=LinearModelFit[{First@#,myfun[Last@#]}&/@data,x,x]

(*畫出轉換後之迴歸線及散佈圖*)
Plot[lm[x],{x,0,8},Epilog->{Red,Point[{First@#,myfun[Last@#]}&/@data]}]

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