Mathematica曲線擬合

定義資料
data = Transpose@{{-3.0, -2.5, -2.0, -1.5, -1.0, -0.5, 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0}, {187, 108.063, 60.0, 33.0625, 19, 11.0625, 4.0, -5.9375, -21.0, -41.9375, -68, -96.9375, -125, -146.938,-156, -143.938, -101, -15.9375, 124}};

檢視資料散佈圖
ListPlot[data, PlotStyle -> PointSize[Large]]


以最小平方法來估計四次函數
nlm = NonlinearModelFit[data, {a, b, c, d, c}.{1, x, x^2, x^3, x^4}, {a, b, c, d, e}, {x}];
Normal@nlm


將最小平方法擬合資料繪出
Plot[Normal[nlm], {x, -3, 6}, Epilog -> {PointSize[Large], Red, Point@Transpose@{data[[All, 1]], Map[nlm, data[[All, 1]]]}, Blue, Point@data}]


以FindMinimum求擬合曲線最小值
FindMinimum[Normal[nlm], {x, 4}]

{-131.961, {x -> 3.84572}}

以x=5為起始值，畫出迭代過程
Needs["Optimization`UnconstrainedProblems`"];
FindMinimumPlot[nlm[x], {x, -5}][[3]]



以x=5為起始值，輸出將迭代過程
First@Last@Reap[FindMinimum[nlm[x], {x, -3}, StepMonitor :> Sow[{x, nlm[x]}]]] // TableForm


列出ConjugateGradient, PrincipalAxis, Newton, QuasiNewton的迭代過程
Labeled[TableForm[First@Last@Reap[FindMinimum[nlm[x], {x, 5}, StepMonitor :> Sow[{x, nlm[x]}], Method -> #]]], #, Top] & /@ {"ConjugateGradient", "PrincipalAxis", "Newton", "QuasiNewton"} // TableForm


以牛頓法求極小值
min = NestList[# - nlm'[#]/nlm''[#] &, 5, 10]

{5, 4.18259, 3.88676, 3.84644, 3.84573, 3.84572, 3.84572, 3.84572, 3.84572, 3.84572, 3.84572}

又以上可以發現Mathematica在執行FindMinimum時，預設以準牛頓法來進行迭代計算

以黃金切割搜尋法求解
lambda = N@((Sqrt[5] - 1)/2);
First@NestWhile[If[nlm[(1-lambda)*#[[1]]+lambda*#[[2]]]>nlm[lambda*#[[1]]+(1-lambda)*#[[2]]],{#[[1]],(1-lambda)*#[[1]]+lambda*#[[2]]},{lambda*#[[1]]+(1-lambda)*#[[2]],#[[2]]}]&,{2,5},Unequal,All]

3.84573


黃金切割搜尋法收斂圖
test=NestWhileList[If[nlm[(1-lambda)*#[[1]]+lambda*#[[2]]]>nlm[lambda*#[[1]]+(1-lambda)*#[[2]]],{#[[1]],(1-lambda)*#[[1]]+lambda*#[[2]]},{lambda*#[[1]]+(1-lambda)*#[[2]],#[[2]]}]&,{2,5},Unequal,All]

Plot[0,{x,0,6},PlotRange->{All,{0,2}},Epilog->{Thickness[0.01],
Table[{RGBColor[Random[],Random[],Random[]],
Line@{{test[[n,1]],n/10},{test[[n,2]],n/10}}},{n,20}]}]



將最小點標示於函數曲線上做圖說明
Plot[Normal[nlm], {x, -4, 8},
PlotRange -> {{-4, 8}, {-200, 250}}, ImageSize -> 500,
Epilog -> {PointSize[Large], Red,
Point@Transpose@{data[[All, 1]], Map[nlm, data[[All, 1]]]},
Blue, Point@data,
Black, PointSize[0.05],
Point[{Last@min, nlm[Last@min]}]
}]


建立圖例函數
LineStylesFromTooltips[plot_Graphics] := Cases[plot, Tooltip[{s__, l_Line}, tt_] :> Grid[{{Graphics[Flatten[{s, Thickness[0.15], Line[{{0, 0}, {1, 0}}]}], ImageSize -> {24, 8}, AspectRatio -> 8/24, ImagePadding -> 0], tt}}], Infinity];
LineLegendFromTooltips[plot_Graphics] := Labeled[plot, Style[Column[LineStylesFromTooltips[plot], Left], "TR", ShowStringCharacters -> False], {{Right, Top}}];

將插值法及最小平方法的曲線擬合資料繪出
LineLegendFromTooltips[Plot[{Tooltip[Interpolation[data, InterpolationOrder -> 4][x], "插值法"], Tooltip[nlm[x], "最小平方法"]}, {x, -3, 6}, PlotStyle -> Thickness[0.01], Epilog -> {PointSize[Large], Red, Point@Transpose@{data[[All, 1]], Map[nlm, data[[All, 1]]]}, Blue, Point@data, Black, PointSize[0.05], Point[{Last@min, nlm[Last@min]}]}]]

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